2.7.05

O Poder da Exponencial

O xadrez é um jogo antiquíssimo, e muitas lendas contam a sua origem, uma das quais nos diz que foi inventado na Índia. Quando o rei Cheram o conheceu, ficou maravilhado com o engenho do inventor, o seu súbdito Seta, e a múltipla variedade de posições que no jogo são possíveis.

Mandou então chamar Seta para o recompensar pessoalmente pelo invento. Seta apresentou-se ao soberano vestido com muita modéstia.

- Seta, quero recompensar-te dignamente pelo engenhoso jogo que inventaste - disse o rei. O sábio agradeceu, mas não aceitou a generosidade.

- Sou rico que chegue para satisfazer todos os teus desejos - replicou o rei. Diz-me a recompensa que desejas e eu te satisfarei. Seta continuou calado. - Não sejas tímido, diz o que queres, não hesitarei em satisfazer os teus desejos.

- Grande é a vossa magnanimidade, ó soberano, porém concedei-me um curto prazo para meditar na resposta, e amanhã, depois de árduas reflexões, vos comunicarei o meu pedido.

Quando, no dia seguinte, Seta se apresentou de novo ante o trono, deixou o rei maravilhado pelo seu pedido inaudito.

- Soberano - disse Seta -, mandai que me entreguem um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez.

- Um simples grão de trigo? - retorquiu admirado o rei.

- Sim, soberano, e, pela segunda casa, ordenai que me entreguem dois grãos, pela terceira, quatro grãos, pela quarta, oito, pela quinta, dezasseis, pela sexta, trinta e dois etc.

- Basta - interrompeu o rei, irritado - receberás o trigo correspondente às 64 casas do tabuleiro, de acordo com o teu desejo: por cada sucessiva casinha receberás a dupla quantidade que pediste, porém deverás saber que o teu pedido é indigno da minha generosidade; ao pedires-me tão mísera recompensa menosprezas irreverentemente a minha benevolência. Na verdade, como sábio que és, deverias ter dado maior prova de respeito ante a bondade de teu soberano. Sai daqui, meus servos te darão esse saco de trigo que solicitaste.

Os matemáticos da corte trabalharam intensamente para calcular a recompensa de Seta, que ficou à espera à porta do palácio real. Só ao amanhecer do outro dia o matemático chefe da corte solicitou audiência para apresentar ao rei uma informação muito importante:

- Ó rei, calculámos escrupulosamente a quantidade de grãos que Seta deseja receber. Resulta uma cifra astronómica, absurdamente gigantesca.

- Seja qual for a sua grandeza - interrompeu com altivez o rei -, os meus celeiros não se esvaziarão, prometi dar a recompensa a Seta, pelo que lha darei.

- Senhor, não depende da vossa vontade cumprir semelhante desejo: em todos os vossos celeiros não existe a quantidade de trigo que exige Seta. Nem sequer em todos os celeiros de todo o reino, nem até nos celeiros de todo o mundo. Se desejais entregar sem falta a recompensa prometida, ordenai que todos os reinos da terra se convertam em lavouras, mandai secar mares e oceanos, que se fundam todos os gelos e todas as neves que cobrem os distantes desertos do norte, que todo o espaço seja totalmente semeado e que toda a colheita seja entregue a Seta. Só então receberá a sua recompensa.

- Dizei-me qual é esse número tão monstruoso de grãos, disse o rei, espantado.

- Ó soberano, são 18.446.744.073.709.051.615. Ou seja, é o mesmo que 2 elevado à potência 64... A recompensa do Inventor do Xadrez deverá ocupar um volume aproximado de 12.000 Km3. Se o celeiro tivesse 4 metros de altura e 10 de largura, o seu comprimento teria que ter 300.000.000 de quilómetros, ou seja, o dobro da distância que separa a terra do sol.

ERRATA:

Como não podia deixar de ser, meti trapalhada. 2 elevado a 64 não é nem podia nunca ser
18 446 744 073 709 051 615, que é ímpar.

O verdadeiro valor é:

18 446 744 073 709 551 616

Obrigado a David Luz, pela correcção

3 Comments:

Anonymous Carlos said...

Como com os décimos e centésimos do post seguinte, também neste há uma pequena imprecisão matemática. O número total de grãos indicados no final, cuja correcção não verifiquei, mas que admito que possa ser a quantidade devida, não é igual a 2 elevado a 64 (teria de ser um número par), mas sim 2 elevado a 65 menos 1, o que é igual à soma de todas as potências de 2, de 1 a 64.

12:59 da tarde  
Anonymous Carlos said...

Corrigindo o comentário anterior, depois de lida a errata: o número total de grãos prometidos é um número ímpar, 18446744073709551615, igual a 2 elevado a 64 menos 1, somatório das potências de 2, desde 2 elevado a 0 até 2 elevado a 63.

7:04 da tarde  
Blogger Pedro said...

não conserteza é impar, pois após a segunda casa, todos osgrãos são em numero par, mas temque somar o primeiro grão que é impar, logo sem pre vai dar impar, não é só a pontencia é a soma da pontencia...

"Soma da PG" kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

5:24 da tarde  

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